北海道大学
数学 2025年度入試 問題
【その他特記事項】【入試科目】数I・II・A（図形）・B（列）・C（ベ・平）と文字部との選択。
1
関数 f(x) = x³ - 6x² - 15x + 30 について考える。y = f(x) のグラフを C とおく。
(1) f(x) が極大値、極小値をとるような x をそれぞれ求めよ。極大値、極小値を求めよ。
(2) C上の点 (-3, -6) を通り、C に接する直線の方程式をすべて求めよ。
(1) f(x) が極大値、極小値をとるような x をそれぞれ求めよ。極大値、極小値を求めよ。
(2) C上の点 (-3, -6) を通り、C に接する直線の方程式をすべて求めよ。
2
整数 a, b, c は条件
(1) 不等式 a + b > c を満たすような (a, b, c) をすべて挙げよ。
(2) 不等式 a² + b² ≧ c² を満たすような (a, b, c) をすべて挙げよ。
(3) (2)で求めた各 (a, b, c) について、頂点A, B, Cと向かい合う辺の長さがそれぞれa, b, cで与えられる△ABCを考える。このようなすべての△ABCについて cos∠ACBを求めよ。
2 ≦ a < b < c ≦ 6
を満たすとする。(1) 不等式 a + b > c を満たすような (a, b, c) をすべて挙げよ。
(2) 不等式 a² + b² ≧ c² を満たすような (a, b, c) をすべて挙げよ。
(3) (2)で求めた各 (a, b, c) について、頂点A, B, Cと向かい合う辺の長さがそれぞれa, b, cで与えられる△ABCを考える。このようなすべての△ABCについて cos∠ACBを求めよ。
3
数列 {aₙ} を次の条件により定める。
(2) 数列 {aₙ} の一般項を求めよ。
(3) Σ(k=1 to 225) 1/aₖ の値を求めよ。
a₁ = 1, a₂ = 3,
(n + 1)aₙ₊₂ - (2n + 3)aₙ₊₁ + (n + 2)aₙ = 0 (n = 1, 2, 3, …)
(1) bₙ = aₙ₊₁ - aₙ とおくと、(n + 1)aₙ₊₂ - (2n + 3)aₙ₊₁ + (n + 2)aₙ = 0 (n = 1, 2, 3, …)
bₙ₊₁ = (n+2)/(n+1) bₙ (n = 1, 2, 3, …)
が成り立つことを示せ。(2) 数列 {aₙ} の一般項を求めよ。
(3) Σ(k=1 to 225) 1/aₖ の値を求めよ。
4
関数 f(x) は、すべての実数 x およびすべての整数 n について f(nx) = {f(x)}ⁿ を満たし、さらに f(1) = 2 を満たすとする。ただし、f(x) のとりうる値は 0 でない実数とする。
(1) f(n) ≦ 100 となるような最大の整数 n を求めよ。
(2) すべての実数 x について f(x) > 0 であることを証明せよ。
(3) f(0.25) を求めよ。
(4) a が有理数のとき、f(a) を a で表せ。
(1) f(n) ≦ 100 となるような最大の整数 n を求めよ。
(2) すべての実数 x について f(x) > 0 であることを証明せよ。
(3) f(0.25) を求めよ。
(4) a が有理数のとき、f(a) を a で表せ。
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